雙信封悖論和圍城效應

無我按：知足常樂。

双信封悖论和围城效应

从 阅微堂 作者：zhiqiang

问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的两倍。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。
推断：你应该更改你的选择
假设你打开信封后发现里面钱的数量为A。
A是较小的钱数的概率为1/2，为较大的钱数亦为1/2。
如果A是较小的钱数，则另一个信封里钱数为2A；
如果A是较大的钱数，则另一个信封里的钱数为为A/2。
所以另一个信封里的钱数的期望为 E = 2A×1/2+A/2×1/2=5A/4，大于A。
你应该更换你的选择。
想想看，这个问题和推断是不是有点像围城效应？
很显然，上面的推断结果是有问题的。关键在于第二条，如果上面推断中的第二条成立的话，我们假设P(A)为两个钱包里的钱数为（A/2，A）的概率，那么将有P(A)=P(2A)，从而有一个定义在一个无穷集上的均匀分布，这是不可能的。
上面这个问题以前就讨论过，最近一个同学问起这个悖论的变种：
问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的两倍。而且两个信封里的钱的数量是的概率是，其中。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。
推断：你应该更改你的选择
假设你打开信封后发现里面钱的数量为A。
如果，另外一个钱包有10块钱，你应该更换你的选择。
如果1" src="http://zhiqiang.org/blog/wp-content/cache/tex_78c21ca0ada77652d2784622668211fd.png">，另一个钱包为10A的概率为1/3，有A/10块钱的概率为2/3。
另一个钱包的期望钱的数量为17A/5，大于已选的钱包的钱数A。
你应该更换你的选择。
这个推断几乎没有问题，一句话的总结就是，在一个期望无限收益的游戏里，玩家不可能得到满足（达到期望值）。